Roque Mesa Quevedo nació el 7 de junio de 1989 en Telde, en la isla de Gran Canaria. Centrocampista de 1,72 metros, se formó en los equipos base de su ciudad, Valdecasas, Yoñe y UD Telde, antes de marcharse a la península con quince años. Su carrera reúne la UD Las Palmas, con la que subió a Primera División en 2015, una temporada en la Premier League con el Swansea City, etapas en el Sevilla, el Leganés, el Real Valladolid y el Sporting de Gijón, y un tramo final en el fútbol asiático.
En 2005 dejó el cadete de la UD Telde para incorporarse a la cantera del Levante UD, después de haber debutado ese mismo año con el equipo sénior del Telde. En el club granota llegó al filial, el Levante B, con el que jugó entre 2007 y 2009. La temporada 2009-10 la empezó en el Huracán valenciano y en enero de 2010 regresó a Canarias para jugar en el Tenerife B. En el verano de ese año cambió de isla y se enroló en Las Palmas Atlético, el filial amarillo, que sería su casa durante buena parte de los cuatro años siguientes.
La UD Las Palmas y el ascenso de 2015
El 8 de octubre de 2011 debutó con el primer equipo de la UD Las Palmas en Segunda División, en una victoria por 1-2 en el campo del Celta de Vigo. Sin sitio fijo todavía, la temporada 2012-13 salió cedido al Atlético Baleares, donde sumó 33 partidos y 3 goles en Segunda B, y a su vuelta jugó otra campaña en el filial. En noviembre de 2013 el club le renovó hasta 2017. Su primer gol como profesional llegó el 1 de noviembre de 2014, en el 2-1 al Albacete, y en enero de 2015 fue elegido mejor jugador del mes de la Liga Adelante.
Aquella temporada terminó con la final del playoff ante el Real Zaragoza. Tras perder 3-1 en La Romareda, Las Palmas ganó 2-0 la vuelta en Gran Canaria el 21 de junio de 2015: Roque Mesa abrió el marcador en la primera parte y Sergio Araujo cerró la eliminatoria a seis minutos del final. El valor doble de los goles fuera de casa dio a los amarillos el ascenso a Primera División, trece años después de su última presencia en la categoría.
Debutó en Primera el 22 de agosto de 2015, en la derrota por 1-0 ante el Atlético de Madrid, y marcó su primer gol en la máxima categoría el 23 de septiembre de ese año, en el 2-0 al Sevilla. En 2016 recibió el Trofeo Germán Dévora y fue nombrado mejor deportista de Telde. Entre 2011 y 2017 disputó 126 partidos de liga con el primer equipo de Las Palmas y marcó 6 goles.
Swansea City y la Premier League
El 6 de julio de 2017 el Swansea City lo fichó por cuatro temporadas, por una cantidad que la prensa británica cifró en unos 11 millones de libras. Debutó en la Premier League el 19 de agosto de 2017, como titular, en la derrota por 0-4 ante el Manchester United. En el club galés jugó 11 partidos de liga antes de volver a España a mitad de curso.
Sevilla y la cesión al Leganés
En enero de 2018 llegó cedido al Sevilla con opción de compra. Disputó 7 partidos de liga hasta el final de la temporada y en junio de 2018 el club andaluz lo adquirió en propiedad con un contrato de tres años. Entre 2018 y 2020 sumó con el Sevilla 31 partidos y 2 goles en liga. En agosto de 2019 se anunció su cesión al CD Leganés, donde jugó 29 partidos y marcó un gol en la temporada 2019-20. En octubre de 2020 rescindió de mutuo acuerdo el año de contrato que le quedaba en Nervión.
Real Valladolid y Sporting de Gijón
Tras salir del Sevilla firmó por tres temporadas con el Real Valladolid. El equipo blanquivioleta descendió a Segunda en 2021 y recuperó la categoría en la temporada 2021-22. En tres años jugó 93 partidos de liga y marcó 6 goles, y en junio de 2023 quedó libre al no ser renovado. El 5 de septiembre de 2023 fichó como agente libre por el Sporting de Gijón por una temporada; en la campaña 2023-24 disputó 30 partidos de liga en Segunda División y anotó un gol.
Etapa en Asia
En febrero de 2025 se incorporó al Johor Darul Ta'zim de Malasia junto a otros dos exjugadores de LaLiga, Jonathan Viera y Álvaro González. El club los fichó pensando en la Liga de Campeones de la AFC Élite y, según la prensa española, los tres solo podían ser inscritos en esa competición y no en la liga malasia. En febrero de 2026 fichó por el Ratchaburi, de la primera división de Tailandia.
Ratchaburi Mitrphol FCCentrocampistaValor de mercado 192,0 mil €